Hirano: ページの作成:「 == 剰余計算で成り立つ関係式 == $x$ の $y$ を法とする剰余を $x\ \bmod\ y$ と書く。この時、 * $(x\ \bmo…」$

2026-05-26T04:14:15Z

ページの作成:「 == 剰余計算で成り立つ関係式 == <math>x</math> の <math>y</math> を法とする剰余を <math>x\ \bmod\ y</math> と書く。この時、 *<math> (x\ \bmo…」

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== 剰余計算で成り立つ関係式 ==
<math>x</math> の <math>y</math> を法とする剰余を <math>x\ \bmod\ y</math> と書く。この時、
*<math> (x\ \bmod\ y)\ \bmod\ y = x\ \bmod\ y</math>
*<math> c(x\ \bmod\ y) = cx\ \bmod\ cy</math>
*<math> (x_1 \pm x_2)\ \bmod\ y = (x_1\ \bmod\ y \pm x_2\ \bmod\ y)\ \bmod\ y</math>
*<math> (x_1 x_2)\ \bmod\ y = [(x_1\ \bmod\ y)(x_2\ \bmod\ y)]\ \bmod\ y</math>
が成り立つ。

== 周期境界条件と剰余計算との関係 ==
周期境界条件を考慮した場合に <math>\mathbf{r}_1</math> と <math>\mathbf{r}_1</math> の間の (minimum image 上の) 距離ベクトル <math>\mathbf{r}_{12}'</math> は、
:<math>\mathbf{r}_{12}'=(\mathbf{r}_{12}\ \bmod\ \mathbf{l}) - \frac{\mathbf{l}}{2}</math>
で与えられる。なお、<math>\mathbf{r}_{12}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2</math> であり、<math>\mathbf{l}</math> はシミュレーションセルの大きさを表わすベクトルである
(mod 演算はベクトルの各要素に対して行うことにする)。

== 二体間の距離ベクトルを基にした誘電分極の計算 ==
系の誘電分極は、系に存在する <math>i</math> 番目の電荷を <math>q_i</math>、その位置を <math>\mathbf{r}_i</math> と書くと、
:<math>\mathbf{P}=\sum_i q_i\mathbf{r}_i</math>
で与えられる。簡単のため粒子が 3 個の場合を考えると、
:<math>\mathbf{P}=q_1\mathbf{r}_1+q_2\mathbf{r}_2+q_3\mathbf{r}_3</math>
である。

さて、周期境界条件を考えるには分極を 2 点間の距離ベクトルで表現する必要がある。
そこで
:<math>
\begin{align}
\mathbf{P} &= q_1\mathbf{r}_1+(q_2\mathbf{r}_2+q_3\mathbf{r}_3) \\
&= q_1\mathbf{r}_1+[ (q_2+q_3)\mathbf{r}_2-q_3\mathbf{r}_{23} ] \\
&\equiv q_1\mathbf{r}_1 + q_\mathrm{G}\mathbf{r}_\mathrm{G}
\end{align}
</math>
のように後ろの二項を先に計算することにする。
なお、
:<math>q_\mathrm{G}=q_2+q_3</math>
及び
:<math>\mathbf{r}_\mathrm{G}=\mathbf{r}_2-\frac{q_3}{q_\mathrm{G}}\mathbf{r}_{23}</math>
は 2 番目と 3 番目の電荷の和と電荷重心である。
<math>q_\mathrm{G}=0</math> のときは <math>\mathbf{r}_\mathrm{G}</math> は発散してしまうが、
<math>q_\mathrm{G}\mathbf{r}_\mathrm{G}</math> は値を持つため計算上の問題は起こらない。

同様の処理をもう一度行うことで、
:<math>
\mathbf{P} = q\mathbf{r}_1-q_\mathrm{G}\mathbf{r}_{1\mathrm{G}}
</math>
が得られる。ここで、
:<math>q=q_1+q_\mathrm{G}=q_1+q_2+q_3</math>
は総電荷であり、これが 0 になる場合は、第一項は消え分極は原点の位置に依らない定数となる。

== 周期境界条件の考慮（未完） ==
分極の計算において周期境界条件を考慮する方法として、
前節の距離ベクトルをminimum image 上の距離ベクトルに置き換えることが考えられる。
これは mod 演算で表現すると、<math>q_\mathrm{G}\neq 0</math> の場合、
:<math>
\begin{align}
\mathbf{r}_{1\mathrm{G}}' &= (\mathbf{r}_{1\mathrm{G}}\ \bmod\ \mathbf{l}) - \frac{\mathbf{l}}{2} \\
&= \{ [ (\mathbf{r}_1\ \bmod\ \mathbf{l}) - ( \mathbf{r}_\mathrm{G}\ \bmod\ \mathbf{l} ) ] \ \bmod\ \mathbf{l} \} - \frac{\mathbf{l}}{2} \\
&= \{ [ (\mathbf{r}_1\ \bmod\ \mathbf{l}) - ( \{ \mathbf{r}_2 - \frac{q_3}{q_\mathrm{G}}[(\mathbf{r}_{23}\ \bmod\ \mathbf{l} )-\frac{\mathbf{l}}{2}] \}\ \bmod\ \mathbf{l})
] \ \bmod\ \mathbf{l}\} - \frac{\mathbf{l}}{2} \\
&= \{ [ (\mathbf{r}_1\ \bmod\ \mathbf{l})
- (\mathbf{r}_2\ \bmod\ \mathbf{l})
- \{ [ \frac{q_3}{q_\mathrm{G}}(\mathbf{r}_{23}\ \bmod\ \mathbf{l})]\ \bmod\ \mathbf{l}\}
+ \frac{\mathbf{l}}{2}
]\ \bmod\ \mathbf{l} \} - \frac{\mathbf{l}}{2}
\end{align}
</math>

] \ \bmod\ \mathbf{l} \} - \frac{\mathbf{l}}{2} \\

周期境界条件下の分極についての考察 - 版の履歴

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