Hirano: ページの作成:「== 概要 == diis_struct はSCF計算に対する収束加速法であるDIIS法の計算を行う構造体である。 SCF計算は分極計算やWHAM計算等、多く…」

2026-05-26T04:17:20Z

ページの作成:「== 概要 == diis_struct はSCF計算に対する収束加速法であるDIIS法の計算を行う構造体である。 SCF計算は分極計算やWHAM計算等、多く…」

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== 概要 ==
diis_struct はSCF計算に対する収束加速法であるDIIS法の計算を行う構造体である。

SCF計算は分極計算やWHAM計算等、多くの場面で見られ、DIIS法は容易に適用される。

現在FreeFlexではWHAM計算のみにDIISを用いている。

== 変数 ==
'''ndiis:''' DIISの次数。過去ndiis回のSCF結果から、次のステップでの解を予測する。

'''n:''' データ配列の大きさ。

'''x:''' 過去ndiis回のSCFデータ。 x(1:ndiis+1,1:n)

== 計算の詳細 ==

<math>
A\mathbf{x} = \mathbf{b}
</math>
で表される連立方程式を解くことと、
<math>
L=\frac{1}{2}|A\mathbf{x}-\mathbf{b}|^2
</math>
を最小化する<math>\mathbf{x}</math>を求めることは等価である。

ここで、過去<math>n</math>ステップ分の<math>\mathbf{x}</math>の線形結合により推定ベクトル
<math>
\mathbf{x}^{n+1}=\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{x}^i
</math>
を作ることを考える。

ただしここでは<math>\sum_{i=1}^nc_i=1</math>とする。
<math>A</math>が<math>\mathbf{x}</math>に依存しないとき、すなわち線形であるときには
<math>\mathbf{x}^{n+1}</math>により得られる残差は直ちに
<math>
L=\frac{1}{2}|A\mathbf{x}^{n+1}-\mathbf{b}|^2 \\
=\frac{1}{2}|\sum_ic_iA\mathbf{x}^i-\mathbf{b}|^2 \\
=\frac{1}{2}|\sum_ic_i\mathbf{p}^i|^2
</math>
と計算される。ここで残差ベクトル<math>\mathbf{p}_i=A\mathbf{x}^i-b</math>である。

推定解としてもっともらしいものは、<math>L</math>を最小化するような<math>{c}</math>の組である。

拘束条件<math>\sum_{i=1}^nc_i=1</math>が課せられているから、Lagrangeの未定乗数法により目的関数
<math>
\mathscr{L}=L-\lambda(\sum_i c_i-1)
</math>
を定義すれば良い。
ここから<math>L</math>を最小化する条件として、以下の式が得られる。
<math>
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial c_i}=\sum_j c_j\mathbf{p}^j\cdot\mathbf{p}^i-\lambda=0 \\
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \lambda}=1-\sum_i c_i=0
</math>

これらを行列形式で書けば
<math>
\begin{align}
\begin{pmatrix} B_{11}&B_{12}&\cdots&B_{1n}&-1 \\
B_{21}&&&&-1 \\
\vdots&&&&\vdots \\
B_{n1}&&&&-1 \\
-1&-1&-1&-1&0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \\ \lambda
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ -1
\end{pmatrix}
\end{align}
</math>

となる。ここで<math>B_{ij}=\mathbf{p}_i\cdot\mathbf{p}_j</math>とした。

== 出力 ==
現状下記が実装されている。必要に応じて各自追加する。

subroutine init(ndiis,n)
!!!
!!! 配列のallocationやゼロセットを行う。
!!!

subroutine store(x)
!!!
!!! 過去のデータを保存する。
!!!

subroutine predict(x)
!!!
!!! 過去のデータからDIIS法により予測された、次のステップにおけるSCFの初期値を返す。
!!!

Diis struct - 版の履歴

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