Hirano: ページの作成:「Hamiltonian Replica Exchange Umbrella Sampling (HREUS) 法において、隣接したバイアスポテンシャルの交換確率の見積もりを与える。ここで…」

2026-05-26T04:14:02Z

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Hamiltonian Replica Exchange Umbrella Sampling (HREUS) 法において、隣接したバイアスポテンシャルの交換確率の見積もりを与える。
ここでは、バイアスポテンシャルは HARMONIC <math>U(x) = \frac{kT}{2} \frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}</math> として、
曲率が同じ2つのHARMONIC バイアスが Δμ だけ離れているとする。

[[ファイル:REUS_exchange.png|200px]]
<math>\Delta \mu</math>だけ離れた2つの Harmonic ポテンシャルの模式図。
交点の高さは、<math>\frac{kT}{8} \left( \frac{\Delta \mu}{\sigma} \right)^2</math> になる。

各 <math>i</math> 番目のレプリカが <math>x=\mu_i</math> に底をもつバイアス上にあって、<math>x_i</math>の出現確率が
:<math>f_i(x_i)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}} \exp\!\left(-\frac{(x_i-\mu_i)^2}{2\sigma^2} \right)</math>
に従うとする。2 つのレプリカ i, j の交換確率 <math>p_{ij}</math> は、
{{NumBlk|:|<math>p_{ij}=\int dx_i dx_j f_i(x_i)f_j(x_j)M(x_i,x_j)</math>|{{EquationRef|1}}}}
となる。ここで、<math>M(x_i,x_j)</math> はメトロポリス判定の成功確率で、
{{NumBlk|:|<math>
M(x_i,x_j)=
\begin{cases}
1, & \mbox{if }(x_i-x_j)(\mu_i-\mu_j)<0 \\
\exp\left[-\frac{(x_i-x_j)(\mu_i-\mu_j)}{\sigma^2}\right], & \mbox{otherwise}
\end{cases}
</math>|{{EquationRef|2}}}}
で与えられる（[[メディア:exchange_ratio.nb]]）。
従って {{EquationNote|2|式 2}} を {{EquationNote|1|式 1}} に代入することで、
{{NumBlk|:|<math>
p_{ij}=\frac{1}{2}\left[\mathrm{erfc}\left(\frac{\Delta \mu}{2\sigma}\right)+\mathrm{e}^{\frac{2 (\Delta \mu)^2}{\sigma^2}}\mathrm{erfc}\left(\frac{3 \Delta \mu}{2\sigma}\right)\right]
</math>|{{EquationRef|3}}}}
が得られる（[[メディア:exchange_ratio.nb]]）。
{{EquationNote|3|式 3}} は <math>\Delta \mu = 2\sigma</math> のとき、<math>p_{ij} \approx 0.111575 </math> となる。

{| class="wikitable" style="text-align:right;"
! <math>\Delta \mu - \sigma</math>
! 交換確率 <math>p_{ij}</math>
|-
| <math>\Delta \mu = 0.5 \sigma </math>
| 0.600
|-
| <math>\sigma</math>
| 0.365
|-
| <math>2 \sigma</math>
| 0.112
|-
| <math>3 \sigma</math>
| 0.0234
|}

交換確率 <math>p_{ij}</math> を、10 ~ 30 % 程度を妥当とするとき、<math>\Delta \mu = \sigma \sim 2 \sigma</math>程度とすればよい。

REUS法の交換確率の見積もり - 版の履歴

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