内部座標に対する微分の式

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2026年5月26日 (火) 04:12時点におけるHirano (トーク | 投稿記録)による版 (ページの作成:「ここでは、内部座標の定義とその微分の式を記す。 == 数式の notation == ・ベクトルの下付き添字の2つのアルファベットは <math>…」)
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ここでは、内部座標の定義とその微分の式を記す。

数式の notation

・ベクトルの下付き添字の2つのアルファベットは 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{ij} = \mathbf{r}_{i} - \mathbf{r}_{j} } などのような意味となる。

・単位ベクトルとして 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{e}_{ij} } などの表記を用いる。

・成分の表記として 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle {x}_{ij} } or 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle ( \mathbf{e}_{ij} )_{x} } などの表記を用いる。

結合長

Bond def.png

・定義

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle R = | \mathbf{r}_{ij} | }

・微分

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial R }{ \partial \mathbf{r}_{i} } &= \frac{ \mathbf{r}_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} | } = \mathbf{e}_{ij} \\ \frac{ \partial R }{ \partial \mathbf{r}_{j} } &= - \frac{ \mathbf{r}_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} | } = - \mathbf{e}_{ij} \\ \end{align}}

・微分の導出

○ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{i}} での微分

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial R }{ \partial x_{i} } &= \frac{ \partial | \mathbf{r}_{ij} | }{ \partial x_{i} } \\ &= \frac{ \partial \sqrt{ x_{ij}^2 + y_{ij}^2 + z_{ij}^2 } }{ \partial x_{i} } \\ &= \frac{ 2 x_{ij} }{ 2 \sqrt{ x_{ij}^2 + y_{ij}^2 + z_{ij}^2 } } \\ &= \frac{ x_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} | } \\ \end{align}}

よって、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial R }{ \partial \mathbf{r}_{i} } &= \frac{ \mathbf{r}_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} | } \\ &= \mathbf{e}_{ij} \\ \end{align}}

○ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{j}} での微分

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial R }{ \partial \mathbf{r}_{j} } &= - \frac{ \partial R }{ \partial \mathbf{r}_{i} } = - \frac{ \mathbf{r}_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} | } \\ &= - \mathbf{e}_{ij} \\ \end{align}}


結合角

Angle def.png

・定義

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \theta = \arccos( \mathbf{e}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{kj} ) = \arccos \left( \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{ij} | | \mathbf{r}_{kj} | } \right) }

・微分

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \theta }{ \partial \mathbf{r}_{i} } &= - \frac{ ( \mathbf{e}_{z} \times \mathbf{e}_{ij} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} | } \\ &= - \frac{ \mathbf{e}_{kj} - ( \mathbf{e}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{kj} ) \mathbf{e}_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} | \sin \theta } \\ \frac{ \partial \theta }{ \partial \mathbf{r}_{j} } &= - \frac{ \partial \theta }{ \partial \mathbf{r}_{i} } - \frac{ \partial \theta }{ \partial \mathbf{r}_{k} } \\ &= \frac{ ( \mathbf{e}_{z} \times \mathbf{e}_{ij} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} | } + \frac{ ( \mathbf{e}_{z} \times \mathbf{e}_{kj} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} | } \\ &= \frac{ \mathbf{e}_{kj} - ( \mathbf{e}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{kj} ) \mathbf{e}_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} | \sin \theta } + \frac{ \mathbf{e}_{ij} - ( \mathbf{e}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{kj} ) \mathbf{e}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} | \sin \theta } \\ \frac{ \partial \theta }{ \partial \mathbf{r}_{k} } &= - \frac{ ( \mathbf{e}_{z} \times \mathbf{e}_{kj} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} | } \\ &= - \frac{ \mathbf{e}_{ij} - ( \mathbf{e}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{kj} ) \mathbf{e}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} | \sin \theta } \\ \end{align}}

ここで、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{e}_{z} = \frac{ \mathbf{r}_{ij} \times \mathbf{r}_{kj}}{ | \mathbf{r}_{ij} \times \mathbf{r}_{kj} | } }

 

 

 

 

(1)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{e}_{x} = \mathbf{e}_{ij} = \frac{ \mathbf{r}_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} | } }

 

 

 

 

(2)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{e}_{y} = \mathbf{e}_{z} \times \mathbf{e}_{x} }

 

 

 

 

(3)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{e}_{kj} = \cos \theta \mathbf{e}_{x} + \sin \theta \mathbf{e}_{y} }

 

 

 

 

(4)

・微分の導出

○ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{i}} での微分

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \cos \theta }{ \partial \mathbf{r}_{i} } &= - \sin \theta \frac{ \partial \theta }{ \partial \mathbf{r}_{i} } \\ \end{align}}

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \cos \theta }{ \partial x_{i} } &= \frac{ \partial }{ \partial x_{i} } \left( \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{ij} | | \mathbf{r}_{kj} | } \right) (\because \theta の定義) \\ &= \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{ij} }{ \partial x_{i} } \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{ij} | | \mathbf{r}_{kj} | } + \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} | } \frac{ \partial }{ \partial x_{i} } \frac{1}{ | \mathbf{r}_{ij} | }(\because \mathbf{r}_{ij} のみが \mathbf{r}_{i} に依存) \\ &= \frac{ x_{kj} }{ | \mathbf{r}_{ij} | | \mathbf{r}_{kj} | } + \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} | } \left( - \frac{1}{ | \mathbf{r}_{ij} |^2 } \right) \frac{ x_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} | } \\ &= \frac{ | \mathbf{r}_{ij} |^2 x_{kj} - ( \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} ) x_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} |^3 | \mathbf{r}_{kj} | } = \frac{ ( \mathbf{e}_{kj} )_{x} - ( \mathbf{e}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{kj} ) ( \mathbf{e}_{ij} )_{x} }{ | \mathbf{r}_{ij} | } \\ \end{align}}

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \therefore \frac{ \partial \cos \theta }{ \partial \mathbf{r}_{i} } &= \frac{ | \mathbf{r}_{ij} |^2 \mathbf{r}_{kj} - ( \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} ) \mathbf{r}_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} |^3 | \mathbf{r}_{kj} | } = \frac{ \mathbf{e}_{kj} - ( \mathbf{e}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{kj} ) \mathbf{e}_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} | } \\ &= \frac{ \mathbf{e}_{kj} - \cos \theta \mathbf{e}_{x} }{ | \mathbf{r}_{ij} | } (\because \theta の定義) \\ &= \frac{ \sin \theta \mathbf{e}_{y} }{ | \mathbf{r}_{ij} | } (\because (4)より ) \\ &= \frac{ \sin \theta ( \mathbf{e}_{z} \times \mathbf{e}_{x} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} | } (\because (3)より ) \\ \end{align}}

(この変形中で 3, 4 を用いた。)

よって、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \theta }{ \partial \mathbf{r}_{i} } &= - \frac{ \mathbf{e}_{kj} - ( \mathbf{e}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{kj} ) \mathbf{e}_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} | \sin \theta } \\ &= - \frac{ ( \mathbf{e}_{z} \times \mathbf{e}_{ij} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} | } \\ \end{align}}

○ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{k}} での微分

i と k を入れ替えれば、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \partial / \partial \mathbf{r}_{i} } と等価だから、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \theta }{ \partial \mathbf{r}_{k} } &= - \frac{ \mathbf{e}_{ij} - ( \mathbf{e}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{kj} ) \mathbf{e}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} | \sin \theta } \\ &= - \frac{ ( \mathbf{e}_{z} \times \mathbf{e}_{kj} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} | } \\ \end{align}}

○ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{j}} での微分

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \theta }{ \partial \mathbf{r}_{j} } &= - \frac{ \partial \theta }{ \partial \mathbf{r}_{i} } - \frac{ \partial \theta }{ \partial \mathbf{r}_{k} } \\ &= \frac{ \mathbf{e}_{kj} - ( \mathbf{e}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{kj} ) \mathbf{e}_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} | \sin \theta } + \frac{ \mathbf{e}_{ij} - ( \mathbf{e}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{kj} ) \mathbf{e}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} | \sin \theta } \\ &= \frac{ ( \mathbf{e}_{z} \times \mathbf{e}_{ij} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} | } + \frac{ ( \mathbf{e}_{z} \times \mathbf{e}_{kj} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} | } \\ \end{align}}

二面角

Dihedral def.png

・定義

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \phi = \mbox{sign} [ ( \mathbf{r}_{mj} \times \mathbf{r}_{nk} ) \cdot \mathbf{r}_{kj} ] \times \arccos \left( \frac{ \mathbf{r}_{mj} \cdot \mathbf{r}_{nk} }{ | \mathbf{r}_{mj} | | \mathbf{r}_{nk} | } \right) }

・微分

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{i} } &= \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{mj} |^2 } \mathbf{r}_{mj} \\ \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{l} } &= - \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{nk} |^2 } \mathbf{r}_{nk} \\ \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{j} } &= \left( \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } - 1 \right) \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{i} } - \frac{ \mathbf{r}_{kl} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{l} } \\ &= \left( \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } - 1 \right) \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{mj} |^2 } \mathbf{r}_{mj} - \frac{ \mathbf{r}_{kl} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } \left( - \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{nk} |^2 } \mathbf{r}_{nk} \right) \\ \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{k} } &= \left( \frac{ \mathbf{r}_{kl} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } - 1 \right) \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{l} } - \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{i} } \\ &= \left( \frac{ \mathbf{r}_{kl} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } - 1 \right) \left( - \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{nk} |^2 } \mathbf{r}_{nk} \right) - \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{mj} |^2 } \mathbf{r}_{mj} \\ \end{align}}

ここで、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{mj} = \mathbf{r}_{ij} \times \mathbf{r}_{kj} }

 

 

 

 

(5)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{nk} = \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{kl} }

 

 

 

 

(6)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{e}_{mj} = \cos \phi \mathbf{e}_{nk} + \sin \phi (\mathbf{e}_{nk} \times \mathbf{e}_{kj}) }

 

 

 

 

(7)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{e}_{nk} = \cos \phi \mathbf{e}_{mj} - \sin \phi (\mathbf{e}_{mj} \times \mathbf{e}_{kj}) }

 

 

 

 

(8)

・微分の導出

○ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{i}} での微分

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \cos \phi }{ \partial \mathbf{r}_{i} } &= - \sin \phi \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{i} } \\ \end{align}}

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \cos \phi }{ \partial x_{i} } &= \frac{ \partial }{ \partial x_{i} } \left( \frac{ \mathbf{r}_{mj} \cdot \mathbf{r}_{nk} }{ | \mathbf{r}_{mj} | | \mathbf{r}_{nk} | } \right) (\because \phi の定義 ) \\ &= \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{mj} }{ \partial x_{i} } \cdot \mathbf{r}_{nk} }{ | \mathbf{r}_{mj} | | \mathbf{r}_{nk} | } + \frac{ \mathbf{r}_{mj} \cdot \mathbf{r}_{nk} }{ | \mathbf{r}_{nk} | } \frac{ \partial }{ \partial x_{i} } \frac{1}{ | \mathbf{r}_{mj} | } (\because \mathbf{r}_{mj} のみが \mathbf{r}_{i} に依存) \\ &= \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{mj} }{ \partial x_{i} } \cdot \mathbf{r}_{nk} }{ | \mathbf{r}_{mj} | | \mathbf{r}_{nk} | } + \frac{ \mathbf{r}_{mj} \cdot \mathbf{r}_{nk} }{ | \mathbf{r}_{nk} | } \left( - \frac{1}{ | \mathbf{r}_{mj} |^2 } \right) \frac{ \partial | \mathbf{r}_{mj} | }{ \partial x_{i} } \\ &= \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{mj} }{ \partial x_{i} } \cdot \mathbf{e}_{nk} - \cos \phi \frac{ \partial | \mathbf{r}_{mj} | }{ \partial x_{i} } }{ | \mathbf{r}_{mj} | } \\ &= \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{mj} }{ \partial x_{i} } \cdot \mathbf{e}_{nk} - \cos \phi \frac{ \partial \mathbf{r}_{mj} }{ \partial x_{i} } \cdot \mathbf{e}_{mj} }{ | \mathbf{r}_{mj} | } (\because (9)より) \\ &= \frac{ - \sin \phi \frac{ \partial \mathbf{r}_{mj} }{ \partial x_{i} } \cdot ( \mathbf{e}_{mj} \times \mathbf{e}_{kj} ) }{ | \mathbf{r}_{mj} | } (\because (8)より) \\ &= - \sin \phi \frac{ \left( \frac{ \partial \mathbf{r}_{ij} }{ \partial x_{i} } \times \mathbf{r}_{kj} \right) \cdot ( \mathbf{e}_{mj} \times \mathbf{e}_{kj} ) }{ | \mathbf{r}_{mj} | } (\because (5)より) \\ &= - \sin \phi \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{ij} }{ \partial x_{i} } \cdot [ \mathbf{r}_{kj} \times ( \mathbf{e}_{mj} \times \mathbf{e}_{kj} ) ] }{ | \mathbf{r}_{mj} | } (\because スカラー三重積(10)より) \\ &= - \sin \phi \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{ij} }{ \partial x_{i} } \cdot [ ( \mathbf{r}_{kj} \cdot \mathbf{e}_{kj} ) \mathbf{e}_{mj} - ( \mathbf{r}_{kj} \cdot \mathbf{e}_{mj} ) \mathbf{e}_{kj} ] }{ | \mathbf{r}_{mj} | } (\because ベクトル三重積(11)より) \\ &= - \sin \phi \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | \frac{ \partial \mathbf{r}_{ij} }{ \partial x_{i} } \cdot \mathbf{e}_{mj} }{ | \mathbf{r}_{mj} | } (\because \mathbf{r}_{kj} \perp \mathbf{e}_{mj}) \\ &= - \sin \phi \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{mj} | } ( \mathbf{e}_{mj} )_{x} \\ \end{align}}

(この変形中で 5, 8, 9, 10, 11 を用いた。


構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{ \partial | \mathbf{r}_{mj} | }{ \partial x_{i} } = \frac{ \partial \mathbf{r}_{mj} }{ \partial x_{i} } \cdot \mathbf{e}_{mj} }

 

 

 

 

(9)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \because \frac{ \partial | \mathbf{r}_{mj} | }{ \partial x_{i} } &= \frac{ \partial \sqrt{ (\mathbf{r}_{mj})_{x}^2 + (\mathbf{r}_{mj})_{y}^2 + (\mathbf{r}_{mj})_{z}^2 } }{ \partial x_{i} } \\ &= \frac{ 2 \left( (\mathbf{r}_{mj})_{x} \cdot \frac { \partial (\mathbf{r}_{mj})_{x} }{ \partial x_{i} } + (\mathbf{r}_{mj})_{y} \cdot \frac { \partial (\mathbf{r}_{mj})_{y} }{ \partial x_{i} } + (\mathbf{r}_{mj})_{z} \cdot \frac { \partial (\mathbf{r}_{mj})_{z} }{ \partial x_{i} } \right) }{ 2 \sqrt{ (\mathbf{r}_{mj})_{x}^2 + (\mathbf{r}_{mj})_{y}^2 + (\mathbf{r}_{mj})_{z}^2 } } \\ &= \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{mj} }{ \partial x_{i} } \cdot \mathbf{r}_{mj} }{ | \mathbf{r}_{mj} | } \\ &= \frac{ \partial \mathbf{r}_{mj} }{ \partial x_{i} } \cdot \mathbf{e}_{mj} \\ \end{align}}

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B} \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{A}) = \mathbf{C} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = - \mathbf{A} \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{B}) = - \mathbf{A} \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{B}) = - \mathbf{B} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{C}) = - \mathbf{C} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{A}) }

 

 

 

 

(10)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) \mathbf{B} - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \mathbf{C} }

 

 

 

 

(11)

)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \therefore \frac{ \partial \cos \phi }{ \partial \mathbf{r}_{i} } &= - \sin \phi \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{mj} | } \mathbf{e}_{mj} \\ \end{align}}

よって、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{i} } &= \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{mj} | } \mathbf{e}_{mj} \\ &= \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{mj} |^2 } \mathbf{r}_{mj} \\ \end{align}}

○ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{l}} での微分

i と l , k と j , m と n を入れ替えれば、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \partial / \partial \mathbf{r}_{i} } と等価だから、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{mj} } → 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{nk} } の変換の際の符号に気をつけて

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{l} } &= - \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{nk} | } \mathbf{e}_{nk} \\ &= - \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{nk} |^2 } \mathbf{r}_{nk} \\ \end{align}}

○ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{j}} での微分

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \cos \phi }{ \partial \mathbf{r}_{j} } &= - \sin \phi \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{j} } \\ \end{align}}

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \cos \phi }{ \partial x_{j} } &= \frac{ \partial }{ \partial x_{j} } \left( \frac{ \mathbf{r}_{mj} \cdot \mathbf{r}_{nk} }{ | \mathbf{r}_{mj} | | \mathbf{r}_{nk} | } \right) (\because \phi の定義) \\ &= \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{mj} }{ \partial x_{j} } \cdot \mathbf{r}_{nk} }{ | \mathbf{r}_{mj} | | \mathbf{r}_{nk} | } + \frac{ \mathbf{r}_{mj} \cdot \mathbf{r}_{nk} }{ | \mathbf{r}_{nk} | } \frac{ \partial }{ \partial x_{j} } \frac{1}{ | \mathbf{r}_{mj} | } + \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{nk} }{ \partial x_{j} } \cdot \mathbf{r}_{mj} }{ | \mathbf{r}_{mj} | | \mathbf{r}_{nk} | } + \frac{ \mathbf{r}_{mj} \cdot \mathbf{r}_{nk} }{ | \mathbf{r}_{mj} | } \frac{ \partial }{ \partial x_{j} } \frac{1}{ | \mathbf{r}_{nk} | } (\because \mathbf{r}_{mj}, \mathbf{r}_{nk} 共に \mathbf{r}_{i} に依存) \\ &= \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{mj} }{ \partial x_{j} } \cdot \mathbf{r}_{nk} }{ | \mathbf{r}_{mj} | | \mathbf{r}_{nk} | } + \frac{ \mathbf{r}_{mj} \cdot \mathbf{r}_{nk} }{ | \mathbf{r}_{nk} | } \left( - \frac{1}{ | \mathbf{r}_{mj} |^2 } \right) \frac{ \partial | \mathbf{r}_{mj} | }{ \partial x_{j} } + \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{nk} }{ \partial x_{j} } \cdot \mathbf{r}_{mj} }{ | \mathbf{r}_{mj} | | \mathbf{r}_{nk} | } + \frac{ \mathbf{r}_{mj} \cdot \mathbf{r}_{nk} }{ | \mathbf{r}_{mj} | } \left( - \frac{1}{ | \mathbf{r}_{nk} |^2 } \right) \frac{ \partial | \mathbf{r}_{nk} | }{ \partial x_{j} } \\ &= \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{mj} }{ \partial x_{j} } \cdot \mathbf{e}_{nk} - \cos \phi \frac{ \partial | \mathbf{r}_{mj} | }{ \partial x_{j} } }{ | \mathbf{r}_{mj} | } + \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{nk} }{ \partial x_{j} } \cdot \mathbf{e}_{mj} - \cos \phi \frac{ \partial | \mathbf{r}_{nk} | }{ \partial x_{j} } }{ | \mathbf{r}_{nk} | } \\ &= \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{mj} }{ \partial x_{j} } \cdot \mathbf{e}_{nk} - \cos \phi \frac{ \partial \mathbf{r}_{mj} }{ \partial x_{j} } \cdot \mathbf{e}_{mj} }{ | \mathbf{r}_{mj} | } + \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{nk} }{ \partial x_{j} } \cdot \mathbf{e}_{mj} - \cos \phi \frac{ \partial \mathbf{r}_{nk} }{ \partial x_{j} } \cdot \mathbf{e}_{nk} }{ | \mathbf{r}_{nk} | } (\because (9), (12)より) \\ &= \frac{ - \sin \phi \frac{ \partial \mathbf{r}_{mj} }{ \partial x_{j} } \cdot ( \mathbf{e}_{mj} \times \mathbf{e}_{kj} ) }{ | \mathbf{r}_{mj} | } + \frac{ \sin \phi \frac{ \partial \mathbf{r}_{nk} }{ \partial x_{j} } \cdot ( \mathbf{e}_{nk} \times \mathbf{e}_{kj} ) }{ | \mathbf{r}_{nk} | } \\ &= - \sin \phi \frac{ \left( \frac{ \partial \mathbf{r}_{ij} }{ \partial x_{j} } \times \mathbf{r}_{kj} + \mathbf{r}_{ij} \times \frac{ \partial \mathbf{r}_{kj} }{ \partial x_{j} } \right) \cdot ( \mathbf{e}_{mj} \times \mathbf{e}_{kj} ) }{ | \mathbf{r}_{mj} | } + \sin \phi \frac{ \left( \frac{ \partial \mathbf{r}_{kj} }{ \partial x_{j} } \times \mathbf{r}_{kl} \right) \cdot ( \mathbf{e}_{nk} \times \mathbf{e}_{kj} ) }{ | \mathbf{r}_{nk} | } (\because (7), (8)より) \\ &= - \sin \phi \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{ij} }{ \partial x_{j} } \cdot [ \mathbf{r}_{kj} \times ( \mathbf{e}_{mj} \times \mathbf{e}_{kj} ) ] - \frac{ \partial \mathbf{r}_{kj} }{ \partial x_{j} } \cdot [ \mathbf{r}_{ij} \times ( \mathbf{e}_{mj} \times \mathbf{e}_{kj} ) ] }{ | \mathbf{r}_{mj} | } + \sin \phi \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{kj} }{ \partial x_{j} } \cdot [ \mathbf{r}_{kl} \times ( \mathbf{e}_{nk} \times \mathbf{e}_{kj} ) ] }{ | \mathbf{r}_{nk} | } (\because スカラー三重積(10)より) \\ &= - \sin \phi \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{ij} }{ \partial x_{j} } \cdot [ ( \mathbf{r}_{kj} \cdot \mathbf{e}_{kj} ) \mathbf{e}_{mj} - ( \mathbf{r}_{kj} \cdot \mathbf{e}_{mj} ) \mathbf{e}_{kj} ] - \frac{ \partial \mathbf{r}_{kj} }{ \partial x_{j} } \cdot [ ( \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{kj} ) \mathbf{e}_{mj} - ( \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{mj} ) \mathbf{e}_{kj} ]}{ | \mathbf{r}_{mj} | } + \sin \phi \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{kj} }{ \partial x_{j} } \cdot [ ( \mathbf{r}_{kl} \cdot \mathbf{e}_{kj} ) \mathbf{e}_{nk} - ( \mathbf{r}_{kl} \cdot \mathbf{e}_{nk} ) \mathbf{e}_{kj} ] }{ | \mathbf{r}_{nk} | } (\because ベクトル三重積(11)より) \\ &= - \sin \phi \left( \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{mj} |^2 } \frac{ \partial \mathbf{r}_{ij} }{ \partial x_{j} } \cdot \mathbf{r}_{mj} - \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{mj} |^2 } \frac{ \partial \mathbf{r}_{kj} }{ \partial x_{j} } \cdot \mathbf{r}_{mj} \right) + \sin \phi \frac{ \mathbf{r}_{kl} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{nk} |^2 } \frac{ \partial \mathbf{r}_{kj} }{ \partial x_{j} } \cdot \mathbf{r}_{nk} (\because \mathbf{r}_{kj} \perp \mathbf{e}_{mj}, \because \mathbf{r}_{ij} \perp \mathbf{e}_{mj}) \\ &= - \sin \phi \left( \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{mj} |^2 } ( \mathbf{r}_{mj} )_{x} - \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{mj} |^2 } ( \mathbf{r}_{mj} )_{x} \right) - \sin \phi \frac{ \mathbf{r}_{kl} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{nk} |^2 } ( \mathbf{r}_{nk} )_{x} \\ &= - \sin \phi \left( \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } - 1 \right) \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{mj} |^2 } ( \mathbf{r}_{mj} )_{x} - \sin \phi \frac{ \mathbf{r}_{kl} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{nk} |^2 } ( \mathbf{r}_{nk} )_{x} \\ \end{align}}

(この変形中で 7, 8, 9, 10, 11, 12 を用いた。

 

 

 

 

(12)

)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \therefore \frac{ \partial \cos \phi }{ \partial \mathbf{r}_{j} } &= - \sin \phi \left( \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } - 1 \right) \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{mj} |^2 } \mathbf{r}_{mj} - \sin \phi \frac{ \mathbf{r}_{kl} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{nk} |^2 } \mathbf{r}_{nk} \\ \end{align}}

よって、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{j} } &= \left( \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } - 1 \right) \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{mj} |^2 } \mathbf{r}_{mj} + \frac{ \mathbf{r}_{kl} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{nk} |^2 } \mathbf{r}_{nk} \\ &= \left( \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } - 1 \right) \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{i} } - \frac{ \mathbf{r}_{kl} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{l} } \\ \end{align}}

○ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{k}} での微分

i と l , k と j , m と n を入れ替えれば、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \partial / \partial \mathbf{r}_{j} } と等価だから

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{k} } &= - \left( \frac{ \mathbf{r}_{kl} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } - 1 \right) \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{nk} |^2 } \mathbf{r}_{nk} - \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } \frac{ | \mathbf{r}_{kj} | }{ | \mathbf{r}_{mj} |^2 } \mathbf{r}_{mj} \\ &= \left( \frac{ \mathbf{r}_{kl} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } - 1 \right) \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{l} } - \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \mathbf{r}_{kj} }{ | \mathbf{r}_{kj} |^2 } \frac{ \partial \phi }{ \partial \mathbf{r}_{i} } \\ \end{align}}


面外角(Wagging angle)

Wagging def.png

・定義

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \chi = \arcsin( \mathbf{e}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{z} ) = \arcsin \left( \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot ( \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} ) } { | \mathbf{r}_{ij} | | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} |} \right) }

・微分

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \chi }{ \partial \mathbf{r}_{i} } &= - \frac{ ( \mathbf{e}_{y} \times \mathbf{e}_{ij} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} | } \\ &= - \frac{ ( \mathbf{e}_{y} \times \mathbf{r}_{ij} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} |^2 } \\ \frac{ \partial \chi }{ \partial \mathbf{r}_{j} } &= - \frac{ \partial \chi }{ \partial \mathbf{r}_{i} } - \frac{ \partial \chi }{ \partial \mathbf{r}_{k} } - \frac{ \partial \chi }{ \partial \mathbf{r}_{l} } \\ &= \frac{ ( \mathbf{e}_{y} \times \mathbf{e}_{ij} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} | } - \frac{ ( \mathbf{e}_{x} \times \mathbf{r}_{kl} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \\ &= \frac{ ( \mathbf{e}_{y} \times \mathbf{r}_{ij} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} |^2 } - \frac{ ( \mathbf{e}_{x} \times \mathbf{r}_{kl} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \\ \frac{ \partial \chi }{ \partial \mathbf{r}_{k} } &= - \frac{ ( \mathbf{e}_{x} \times \mathbf{r}_{lj} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \\ \frac{ \partial \chi }{ \partial \mathbf{r}_{l} } &= \frac{ ( \mathbf{e}_{x} \times \mathbf{r}_{kj} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \\ \end{align}}

ここで、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{e}_{z} = \frac{ \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } }

 

 

 

 

(13)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{e}_{y} = \frac{ \mathbf{e}_{z} \times \mathbf{e}_{ij} }{ | \mathbf{e}_{z} \times \mathbf{e}_{ij} | } }

 

 

 

 

(14)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{e}_{x} = \mathbf{e}_{y} \times \mathbf{e}_{z} }

 

 

 

 

(15)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{e}_{ij} = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \chi \right) \mathbf{e}_{z} + \sin \left( \frac{\pi}{2} - \chi \right) \mathbf{e}_{x} = \sin \chi \mathbf{e}_{z} + \cos \chi \mathbf{e}_{x} }

 

 

 

 

(16)

・微分の導出

○ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{i}} での微分

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \sin \chi }{ \partial \mathbf{r}_{i} } &= \cos \chi \frac{ \partial \chi }{ \partial \mathbf{r}_{i} } \\ \end{align}}

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \sin \chi }{ \partial x_{i} } &= \frac{ \partial }{ \partial x_{i} } \left( \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot ( \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} | | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \right) (\because \chi の定義) \\ &= \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{ij} }{ \partial x_{i} } \cdot ( \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} | | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } + \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot ( \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \frac{ \partial }{ \partial x_{i} } \frac{1}{ | \mathbf{r}_{ij} | } (\because \mathbf{r}_{ij} のみが \mathbf{r}_{i} に依存) \\ &= \frac{ ( \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} )_{x} }{ | \mathbf{r}_{ij} | | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } + \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot ( \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \left( - \frac{1}{ | \mathbf{r}_{ij} |^2 } \right) \frac{ x_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} | } \\ &= \frac{ ( \mathbf{e}_{z} )_{x} - ( \mathbf{e}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{z} ) ( \mathbf{e}_{ij} )_{x} }{ | \mathbf{r}_{ij} | } \\ \end{align}}

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \therefore \frac{ \partial \sin \chi }{ \partial \mathbf{r}_{i} } &= \frac{ \mathbf{e}_{z} - ( \mathbf{e}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{z} ) \mathbf{e}_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} | } \\ &= \frac{ ( \mathbf{e}_{ij} \times \mathbf{e}_{z} ) \times \mathbf{e}_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} | } (\because ベクトル三重積(17)より) \\ &= \frac{ ( [ \sin \chi \mathbf{e}_{z} + \cos \chi \mathbf{e}_{x} ] \times \mathbf{e}_{z} ) \times \mathbf{e}_{ij} }{ | \mathbf{r}_{ij} | } (\because (16)より) \\ &= \frac{ - \cos \chi ( \mathbf{e}_{y} \times \mathbf{e}_{ij} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} | } \\ \end{align}}

(この変形中で 16, 17 を用いた。

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{C} = (\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) \mathbf{B} - (\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}) \mathbf{A} }

 

 

 

 

(17)

)

よって、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \chi }{ \partial \mathbf{r}_{i} } &= - \frac{ ( \mathbf{e}_{y} \times \mathbf{e}_{ij} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} | } \\ &= - \frac{ ( \mathbf{e}_{y} \times \mathbf{r}_{ij} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} |^2 } \\ \end{align}}

○ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{k}} での微分

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \sin \chi }{ \partial \mathbf{r}_{k} } &= \cos \chi \frac{ \partial \chi }{ \partial \mathbf{r}_{k} } \\ \end{align}}

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \sin \chi }{ \partial x_{k} } &= \frac{ \partial }{ \partial x_{k} } \left( \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot ( \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} | | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \right) (\because \chi の定義) \\ &= \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot \left( \frac{ \partial \mathbf{r}_{kj} }{ \partial x_{k} } \times \mathbf{r}_{lj} \right) }{ | \mathbf{r}_{ij} | | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } + \frac{ \mathbf{r}_{ij} \cdot ( \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} | } \frac{ \partial }{ \partial x_{k} } \frac{1}{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } (\because \mathbf{r}_{kj} のみが \mathbf{r}_{k} に依存) \\ &= \frac{ \mathbf{e}_{ij} \cdot \left( \frac{ \partial \mathbf{r}_{kj} }{ \partial x_{k} } \times \mathbf{r}_{lj} \right) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } + \mathbf{e}_{ij} \cdot ( | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | \mathbf{e}_{z} ) \left( - \frac{1}{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} |^2 } \right) \frac{ \partial | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | }{ \partial x_{k} } (\because (13)より) \\ &= \frac{ \frac{ \partial \mathbf{r}_{kj} }{ \partial x_{k} } \cdot ( \mathbf{r}_{lj} \times \mathbf{e}_{ij} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } + ( \mathbf{e}_{ij} \cdot \mathbf{e}_{z} ) | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | \left( - \frac{1}{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} |^2 } \right) \frac{ | \mathbf{r}_{lj} |^2 x_{kj} - ( \mathbf{r}_{kj} \cdot \mathbf{r}_{lj} ) x_{lj}}{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } (\because (10),(18) より) \\ &= \frac{ ( \mathbf{r}_{lj} \times \mathbf{e}_{ij} )_{x} }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } - \sin \chi \left( \frac{ | \mathbf{r}_{lj} |^2 x_{kj} - ( \mathbf{r}_{kj} \cdot \mathbf{r}_{lj} ) x_{lj} }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} |^2 } \right) (\because \chi の定義) \\ \end{align}}

(この変形中で 10, 13, 18 を用いた。

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{ \partial | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | }{ \partial x_{k} } = \frac{ | \mathbf{r}_{lj} |^2 x_{kj} - ( \mathbf{r}_{kj} \cdot \mathbf{r}_{lj} ) x_{lj} }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } }

 

 

 

 

(18)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \because \frac{ \partial | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | }{ \partial x_{k} } &= \frac{ \partial }{ \partial x_{k} } \sqrt{ ( y_{kj}z_{lj}-z_{kj}y_{lj} )^2 + ( z_{kj}x_{lj}-x_{kj}z_{lj} )^2 + ( x_{kj}y_{lj}-y_{kj}x_{lj} )^2 } \\ &= \frac{ -2 z_{lj}( z_{kj}x_{lj}-x_{kj}z_{lj} ) + 2 y_{lj}( x_{kj}y_{lj}-y_{kj}x_{lj} ) }{ 2 \sqrt{ ( y_{kj}z_{lj}-z_{kj}y_{lj} )^2 + ( z_{kj}x_{lj}-x_{kj}z_{lj} )^2 + ( x_{kj}y_{lj}-y_{kj}x_{lj} )^2 } } \\ &= \frac{ x_{kj}( y_{lj}^2 + z_{lj}^2 ) - x_{lj}( y_{kj}y_{lj} + z_{kj}z_{lj} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \\ &= \frac{ x_{kj}( x_{lj}^2 + y_{lj}^2 + z_{lj}^2 ) - x_{lj}( x_{kj}x_{lj} + y_{kj}y_{lj} + z_{kj}z_{lj} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \\ &= \frac{ | \mathbf{r}_{lj} |^2 x_{kj} - ( \mathbf{r}_{kj} \cdot \mathbf{r}_{lj} ) x_{lj} }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \\ \end{align}}

)

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \therefore \frac{ \partial \sin \chi }{ \partial \mathbf{r}_{k} } &= \frac{ \mathbf{r}_{lj} \times \mathbf{e}_{ij} }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } - \sin \chi \left( \frac{ | \mathbf{r}_{lj} |^2 \mathbf{r}_{kj} - ( \mathbf{r}_{kj} \cdot \mathbf{r}_{lj} ) \mathbf{r}_{lj} }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} |^2 } \right) \\ &= \frac{ \mathbf{r}_{lj} \times \mathbf{e}_{ij} }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } - \sin \chi \left( \frac{ \mathbf{r}_{lj} \times ( \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} |^2 } \right) (\because ベクトル三重積(11)より) \\ &= \frac{ \mathbf{r}_{lj} }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \times \left( \mathbf{e}_{ij} - \sin \chi \frac{ \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \right) (\because (13)より) \\ &= \frac{ \mathbf{r}_{lj} }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \times ( \mathbf{e}_{ij} - \sin \chi \mathbf{e}_{z} ) \\ &= \frac{ \mathbf{r}_{lj} }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \times ( \cos \chi \mathbf{e}_{x} ) \\ &= - \cos \chi \frac{ ( \mathbf{e}_{x} \times \mathbf{r}_{lj} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \\ \end{align}}

よって、

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \chi }{ \partial \mathbf{r}_{k} } &= - \frac{ ( \mathbf{e}_{x} \times \mathbf{r}_{lj} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \\ \end{align}}

○ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{l}} での微分

k と l を入れ替えれば、構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \partial / \partial \mathbf{r}_{k} } と等価だから、符号に気をつけて

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \chi }{ \partial \mathbf{r}_{l} } &= \frac{ ( \mathbf{e}_{x} \times \mathbf{r}_{kj} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \\ \end{align}}

○ 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{r}_{j}} での微分

構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「https://wikimedia.org/api/rest_v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \frac{ \partial \chi }{ \partial \mathbf{r}_{j} } &= - \frac{ \partial \chi }{ \partial \mathbf{r}_{i} } - \frac{ \partial \chi }{ \partial \mathbf{r}_{k} } - \frac{ \partial \chi }{ \partial \mathbf{r}_{l} }\\ &= \frac{ ( \mathbf{e}_{y} \times \mathbf{r}_{ij} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} |^2 } + \frac{ ( \mathbf{e}_{x} \times \mathbf{r}_{lj} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } - \frac{ ( \mathbf{e}_{x} \times \mathbf{r}_{kj} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \\ &= \frac{ ( \mathbf{e}_{y} \times \mathbf{r}_{ij} ) }{ | \mathbf{r}_{ij} |^2 } - \frac{ ( \mathbf{e}_{x} \times \mathbf{r}_{kl} ) }{ | \mathbf{r}_{kj} \times \mathbf{r}_{lj} | } \\ \end{align}}

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