詳細03

03：屈折率の虚部が吸収を表す理由

$x$方向に進む波が$e^{-i(wt-kt)}$と表されたとする。

この状態で、屈折率が$n$の媒質に入ったとする。

光の速度と屈折率$n$の媒質中での速度の間には以下のような関係がある。

$v_{p}={\frac {c}{n}}$(構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle v_p<math>は物質中の光速。<math>c} は真空の光速。)-----(1)

また、速度構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle v_p<math>と波数<math>k<math>の間には : <math>k = \frac{\omega}{v_p}<math>の関係がある。 : これは<math>v_p = f{\lambda}<math>に : <math>k = \frac{2\pi}{\lambda}} を代入して、

⇔$v_{p}=f{\frac {2\pi }{k}}$

ここに${\omega }=2{\pi }f$を代入すると、

$v_{p}={\frac {\omega }{2{\pi }}}{\frac {2\pi }{k}}$

⇔構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle k = \frac{\omega}{v_p}<math>-----(2) : よって(1)に(2)を代入すると: 屈折率<math>n} の媒質中での波数は

${\frac {\omega }{k_{p}}}={\frac {\omega }{nk}}$(構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle v_p<math> : ⇔<math>k_p = nk} (構文解析に失敗 (構文エラー): {\displaystyle k_p<math>は物質中の波数。<math>c} は真空の波数。)

ゆえに、屈折率が$n$の媒質に入ると、波は

$e^{-}i(wt-nkt)$と表される。

ここで、$\eta +i\kappa$のように屈折率が虚部を持ったとする。

すると、波は以下のように表される。

$e^{-i(wt-{\eta +i\kappa }kt)}$

⇔$e^{-{\kappa }kt}e^{-i(wt-{\eta }kt)}$

式から$e^{-{\kappa }kt}$部分は波の減衰を表すことがわかる。これは媒質によって光が吸収されていることを意味する。

参考文献

光をp波とs波に分けてそれぞれ強度の比がしたようになっているとする。

${\begin{cases}I_{s}^{r}&={\left|r^{s}\right\vert ^{2}}I_{s}^{i}+\\I_{p}^{r}&={\left|r^{p}\right\vert ^{2}}I_{p}^{i}\end{cases}}$

右辺の$I_{s}^{i},I_{p}^{i}$が入射光。左辺の$I_{s}^{r},I_{p}^{r}$は反射光である。

辺々を足すと

⇔ $I_{s}^{r}+I_{p}^{r}=\left|r^{s}\right\vert ^{2}I_{s}^{i}+\left|r^{p}\right\vert ^{2}I_{p}^{i}$

⇔ $I_{s}^{r}+I_{p}^{r}=(\left|r^{s}\right\vert ^{2}+\left|r^{p}\right\vert ^{2})I_{p}^{i}$(∵右辺の入射光は自然光で$I_{s}^{i}=I_{p}^{i}$)

⇔ $I_{s}^{r}+I_{p}^{r}={\frac {\left|r^{s}\right\vert ^{2}+\left|r^{p}\right\vert ^{2}}{2}}2I_{p}^{i}$

⇔ $I_{s}^{r}+I_{p}^{r}={\frac {\left|r^{s}\right\vert ^{2}+\left|r^{p}\right\vert ^{2}}{2}}(I_{s}^{i}+I_{p}^{i})$

⇔ ${\frac {I_{s}^{r}+I_{p}^{r}}{I_{s}^{i}+I_{p}^{i}}}={\frac {\left|r^{s}\right\vert ^{2}+\left|r^{p}\right\vert ^{z}{2}}{2}}$

ゆえに、光強度反射率はp波とs波の平均で与えられる。