REUS法の交換確率の見積もり

Hamiltonian Replica Exchange Umbrella Sampling (HREUS) 法において、隣接したバイアスポテンシャルの交換確率の見積もりを与える。 ここでは、バイアスポテンシャルは HARMONIC $U(x)={\frac {kT}{2}}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}$ として、 曲率が同じ2つのHARMONIC バイアスが Δμ だけ離れているとする。

$\Delta \mu$だけ離れた2つの Harmonic ポテンシャルの模式図。 交点の高さは、${\frac {kT}{8}}\left({\frac {\Delta \mu }{\sigma }}\right)^{2}$ になる。

各 $i$ 番目のレプリカが $x=\mu _{i}$ に底をもつバイアス上にあって、$x_{i}$の出現確率が

$f_{i}(x_{i})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \!\left(-{\frac {(x_{i}-\mu _{i})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$

に従うとする。2 つのレプリカ i, j の交換確率 $p_{ij}$ は、

$p_{ij}=\int dx_{i}dx_{j}f_{i}(x_{i})f_{j}(x_{j})M(x_{i},x_{j})$

(1)

となる。 ここで、$M(x_{i},x_{j})$ はメトロポリス判定の成功確率で、

$M(x_{i},x_{j})={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}(x_{i}-x_{j})(\mu _{i}-\mu _{j})<0\\\exp \left[-{\frac {(x_{i}-x_{j})(\mu _{i}-\mu _{j})}{\sigma ^{2}}}\right],&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

(2)

で与えられる（メディア:exchange_ratio.nb）。 従って 式 2 を 式 1 に代入することで、

$p_{ij}={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {erfc} \left({\frac {\Delta \mu }{2\sigma }}\right)+\mathrm {e} ^{\frac {2(\Delta \mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\mathrm {erfc} \left({\frac {3\Delta \mu }{2\sigma }}\right)\right]$

(3)

が得られる（メディア:exchange_ratio.nb）。 式 3 は $\Delta \mu =2\sigma$ のとき、$p_{ij}\approx 0.111575$ となる。

$\Delta \mu -\sigma$	交換確率 $p_{ij}$
$\Delta \mu =0.5\sigma$	0.600
$\sigma$	0.365
$2\sigma$	0.112
$3\sigma$	0.0234

交換確率 $p_{ij}$ を、10 ~ 30 % 程度を妥当とするとき、$\Delta \mu =\sigma \sim 2\sigma$程度とすればよい。